De ouders van de in Frankrijk geboren Henri Alekan waren van Bulgaarse origine. Hij studeerde aan het Conservatoire des Arts et Métiers en het Institut d’Optique. In 1925 werd hij assistent-cameraman, in 1928 camera operator en werkte zo mee aan films als Quai des Brumes (1935), Mademoiselle Docteur (1937) en Dröle de Drame (1937).

In 1940 ontsnapte hij uit een gevangenkamp en sloot zich aan bij het Franse Verzet.

In 1941 werd hij volwaardig Director of Photography, in 1945-1946 nam hij zijn eerste belangrijke film op, de documentaire Le Bataille du Rail van René Clément. Alekan was een veelzijdig filmer wat blijkt uit zijn bijdrage aan La Belle et la Bête/Beauty and the Beast van Jean Cocteau. Hij was in die periode één van de meest succesvolle en betrouwbare cameramannen, ook al omdat hij zijn stijl ook altijd aanpaste aan de noden van het scenario en de wensen van de regisseur maar ook omdat hij het belang van de locatie waar werd gefilmd centraal wist te stellen.

Alekan heeft ook een aantal kortfilms geregisseerd zoals L’Enfer de Rodin (1958). Zijn werk werd opnieuw onder de aandacht gebracht door zijn samenwerking met regisseur Wim Wenders bij het draaien van de film Wings of Desire (1987).